Задание
Основание пирамиды $DABC$ - равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=13$, $AC=24$. Ребро $DB$ перпендикулярно плоскости основания и равно $20$. Найдите тангенс двугранного угла при ребре $AC$.
Решение
Плоскость $BED$ перпендикулярна линии $AC$ пересечения плоскостей $ABC$ и $ACD$. Она пересекается с плоскостью $ACD$ по прямой $DE$, с плоскостью $ABC$ по прямой $EB$. Значит, искомым углом будет угол $BED$ между прямыми $ED$ и $EB$. Точка $E$ является серединой ребра $AC$, следовательно $$AE=\frac{AC}{2}=12$$ Из прямоугольного треугольника $AEB$ $$ BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5 $$ Из прямоугольного треугольника $BED$ $$ \tan BED=\frac{BD}{BE}=\frac{20}{5}=4 $$
Ответ: $4$.