Задание
В правильной шестиугольной призме $A...F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $FE_1$.
Дано
- $A...F_1$ — правильная шестиугольная призма все ребра которой равны 1
- $AB$ и $FE_1$ — прямые
- угол между $AB$ и $FE_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какой, собственно, угол нам нужно искать:
- Прямые $AB$ и $FE_1$ — скрещивающиеся. Нам нужно найти угол между этими двумя скрещивающимися прямыми.
- Отмечаем на кубе отрезок $FO$, параллельный отрезку $AB$.
- Прямые $FO$ и $FE_1$ — пересекающиеся, наименьшим углом между ними является угол $E_1FO$.
- Так как прямая $AB$ параллельна отрезку $FO$, угол $E_1FO$ является искомым углом между прямыми $AB$ и $FE_1$, который нам нужно найти по условию задачи.
По свойствам правильной шестиугольной призмы $$ FO=1,\ E_1O=\sqrt{2}\cdot 1,\ FE_1=\sqrt{2}\cdot 1 $$ По теореме косинусов $$ E_1O^2=FO^2+FE_1^2-2\cdot FO\cdot FE_1\cdot \cos E_1FO $$ Подставляем в формулу известные значения $$ \sqrt{2}^2=1^2+\sqrt{2}^2-2\cdot 1\cdot \sqrt{2}\cdot \cos E_1FO $$ Решаем уравнение и получаем $$ \cos E_1FO=\frac{1}{2\sqrt{2}} $$
Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{2}}$.