ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 30


Задание

В кубе $A..D_1$ точки $E$,$F$ - середины ребер $A_1B_1$ и $A_1D_1$. Найдите тангенс угла между плоскостями $AEF$ и $BCC_1$.

Решение

Плоскость $AA_1D_1$ параллельна плоскости $BCC_1$, следовательно, искомый угол равен углу между плоскостями $AA_1D_1$ и $AEF$. Отмечаем точку $M$ на прямой $AE$ так, чтобы угол $FME$ был равен $90$ градусам. Плоскость $A_1MF$ одновременно параллельна плоскостям $AEF$ и $AA_1D$, искомым углом является угол $A_1MF$ между прямыми $A_1M$ и $MF$. Из прямоугольного треугольника $A_1ME$ $$ ME=\sqrt{A_1E^2-A_1M^2} $$ Из прямоугольного треугольника $A_1MA$ $$ MA=\sqrt{AA_1^2-A_1M^2} $$ По свойствам куба $$ AE=\frac{\sqrt{5}\cdot a}{2},\ A_1E=\frac{a}{2},\ AA_1=a $$ Подставляем в формулу $AE=MA+ME$ известные значения $$ \frac{\sqrt{5}\cdot a}{2}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2-A_1M^2}+\sqrt{a^2-A_1M^2} $$ Решаем это уравнение и получаем $$ A_1M=\frac{a}{\sqrt{5}} $$ Из прямоугольного треугольника $A_1MF$ $$ \tan A_1MF=\frac{A_1F}{A_1M}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5}}{2} $$
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru