Задание
Найдите угол между непересекающимися медианами граней правильного тетраэдра.
Решение
Пусть длина стороны тетраэдра равна $a$. Построим прямую $MT$, проходящую через точку $M$ и параллельную прямой $AE$. Прямая $MT$ является средней линией треугольника $AEC$, следовательно $$ CT=TE=\frac{CD}{4}=\frac{a}{4} $$ По свойствам правильного тетраэдра $$ BM=AE=BE=\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2} $$ $TM$ является средней линией треугольника $AEC$, следовательно $$ MT=\frac{AE}{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot a}{4} $$ В треугольнике $BEC$ $BT$ является медианой. По свойствам медианы $$ BT=\frac{\sqrt{2\cdot BE^2+2\cdot BC^2-EC^2}}{2} $$ Подставляем значения $$ BT=\frac{\sqrt{2\cdot \frac{3a^2}{4}+2\cdot a^2-\frac{a^2}{4}}}{2}=\frac{\sqrt{13}\cdot a}{4} $$ По теореме косинусов, из треугольника $BTM$ $$ \cos BMT=\frac{BM^2+MT^2-BT^2}{2\cdot BM\cdot MT} $$ Подставляем в формулу цифры $$ \cos BMT=\frac{\frac{3\cdot a^2}{4}+\frac{3\cdot a^2}{16}-\frac{13\cdot a^2}{16}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}\cdot a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}\cdot a}{4}}=\frac{1}{6} $$ Следовательно $$ \angle BMT=\arccos (\frac{1}{6}) $$
Ответ: $\arccos (\frac{1}{6})$.