Задание
В правильной шестиугольной призме $A...F1$, все ребра которой равны $1$, точка $G$ - середина ребра $А1В1$. Найдите синус угла между прямой $AG$ и плоскостью $ВСС1$.
Решение
#Пусть $O$ - середина основания призмы, $M$ - середина грани $OC$. #Проводим прямую $MC_1$. Прямая $MC_1$ параллельна прямой $AG$, поэтому искомым углом является угол между $MC_1$ и $BCC_1$. #Строим точку $N$ так, чтобы угол $MNB$ был прямым. Строим прямые $NC_1$ и $MN$. Прямая $MN$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$, прямая $NC_1$ является проекцией прямой $MC_1$ на $BCC_1$. #Искомым углом будет угол между $MC_1N$ между прямой $MC_1$ и ее проекцией $NC_1$ на плоскость $BCC_1$. По свойствам правильной шестиугольной призмы $$ OC=1,\ MC=\frac{1}{2} $$ Из прямоугольного треугольника $MCC_1$ $$ MC_1=\sqrt{MC^2+CC_1^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+1^2}=\frac{\sqrt{5}}{2} $$ Треугольник $OCB$ равносторонний, следовательно $$ \angle OCB=60^{\circ} $$ Из прямоугольного треугольника $CMN$ $$ \sin MCN=\sin 60=\frac{MN}{MC} $$ Получаем $$ MN=\frac{\sqrt{3}\cdot MC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} $$ Из прямоугольного треугольника $MNC_1$ $$ \sin MC_1N=\frac{MN}{MC_1}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} $$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} $