ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 33

1. Строим прямую $B_1T$ так, чтобы угол $B_1TC_1$ был прямым. Прямая $B_1T$ оказывается перпендикулярной плоскости $ABC_1$.
2. Стоим прямую AT. Прямая AT является проекцией AB_1 на плоскость ABC_1.
3. Искомым углом будет угол $B_1AT$ между прямой $AB_1$ и ее проекцией $AT$ на плоскость $ABC_1$.

Пусть длины всех стороны куба равны $a$. Прямая $BC_1$ является диагональю стороны куба. Прямая $B_1T$ перпендикулярна $BC_1$, следовательно, $B_1T$ является частью диагонали $B_1C$ и равна ее половине $$ B_1T=\frac{B_1C}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot a}{2} $$ По свойствам куба $$ AB_1=\sqrt{2}\cdot a $$ Так как прямая $B_1T$ перпендикулярна плоскости ABC_1 $$ \angle B_1TA=90^{\circ} $$ Из прямоугольного треугольника $AB_1T$ $$ \sin B_1AT=\frac{B_1T}{AB_1}=\frac{\frac{\sqrt{2}\cdot a}{2}}{\sqrt{2}\cdot a}=\frac{1}{2} $$ Следовательно $$ \angle B_1AT=30^{\circ} $$