ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 34

1. Строим точку $T$ так, чтобы она была серединой стороны $BC$. Плоскость $ATP$ одновременно перпендикулярна обеим плоскостям $ABC$ и $CBP$.
2. Искомым углом будет угол $PTA$.

Расстоянием между прямыми $AВ$ и $С_1В_1$ является расстояние между параллельными плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$, содержащими эти прямые. Расстоянием между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$ является расстояние $AA_1$. Следовательно $$ AA_1=BB_1=CC_1=18\sqrt{3} $$ Из уравнения $АР:РА_1=2:1$ следует, что $$ AP=\frac{2\cdot AA_1}{3}=12\sqrt{3} $$ Треугольник $ABC$ равнобедренный, один из его углов равен $60$ градусам, следовательно, он равносторонний, все его стороны равны $8$. По свойствам равностороннего треугольника $$ TA=\frac{\sqrt{3}\cdot 8}{2}=4\sqrt{3} $$ Из прямоугольного треугольника $PTA$ $$ \tan PTA=\frac{PA}{TA}=3 $$