ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 36


Задание

Диаметр окружности основания цилиндра равен $26$, образующая цилиндра равна $21$. Плоскость пересекает его основание по хордам длины $24$ и $10$. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Дано

  • $ABB_1A_1$ - плоскость
  • $AB=24$, $A_1B_1=10$
  • Образующая цилиндра равна $21$, диаметр его окружности равен $26$
  • Тангенс угла между плоскостью основания цилиндра и $ABB_1$ - ?

Решение

Решаем задачу для случая, когда обе хорды пересекающей цилиндр плоскости находятся по одну сторону от его центра.
  1. Проводим радиус $OM$ так, чтобы угол $OTB$ был прямым.
  2. Проводим прямую $TT_1$ так, чтобы угол $T_1TB$ был прямым.
  3. Опускаем перпендикуляр $T_1T_2$ на плоскость основания цилиндра. $T_1T_2$ является образующей.
  4. Искомым углом будет угол $T_1TT_2$.
Радиус окружности в основании цилиндра равен $$ r=\frac{26}{2}=13 $$ Треугольник $OAB$ равнобедренный, $OA=OB=r$, $AB=24$. $OT$ является высотой этого треугольника. По свойствам равнобедренного треугольника $$ OT=0.5\cdot\sqrt{4\cdot r^2-AB^2}=0.5\cdot\sqrt{4\cdot 13^2-24^2}=5 $$ Треугольник $OA_2B_2$ равнобедренный, $OA_2=OB_2=r$, $A_2B_2=A_1B_1=10$. $OT_2$ является высотой этого треугольника. По свойствам равнобедренного треугольника $$ OT_2=0.5\cdot\sqrt{4\cdot r^2-A_2B_2^2}=0.5\cdot\sqrt{4\cdot 13^2-10^2}=12 $$ Получаем $$ TT_2=OT_2-OT=12-5=7 $$ Из прямоугольного треугольника $TT_2T_1$ $$ \tan T_1TT_2=\frac{T_1T_2}{TT_2}=\frac{21}{7}=3 $$
Аналогичным образом решаем задачу для случая, когда обе хорды пересекающей цилиндр плоскости находятся по разные стороны от его центра, получаем ответ $\frac{21}{17}$. Ответ: $3, \frac{21}{17}$.

См. также

  • Задачка на форуме ucheba.pro

Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru