ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 37

Задание

В прямом круговом конусе произведение высоты и радиуса основания равна $3\sqrt{3}$. Найдите значения, которые может принимать радиус шара, описанного вокруг конуса.

Решение

Примечание: Конус называется вписанным в сферу, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около конуса.
  1. Равнобедренный треугольник $ABC$ является сечением конуса.
  2. При этом, точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат границе шара, описывающего конус.
  3. Если провести вокруг точек $A$, $B$ и $C$ описанную окружность, эта описанная окружность будет являться сечением шара, центр этой окружности будет совпадать с центром шара.
  4. Так как центры шара и окружности совпадут, искомым радиусом будет радиус описанной вокруг точек $A$, $B$ и $C$ окружности.
Обозначим искомый радиус описанной окружности как $R$, радиус основания конуса - как $r$, высоту конуса - как $h$. По свойствам прямоугольного треугольника, площадь прямоугольных треугольников $AOC$ и $AOB$ равна $$ S_{AOB}=S_{AOC}=\frac{r\cdot h}{2} $$ Площадь равнобедренного треугольника $ABC$ равна $$ S_{ABC}=S_{AOB}\cdot S_{AOC}=r\cdot h $$ Из прямоугольных треугольников $AOC$ и $AOB$ $$ AC=CB=\sqrt{h^2+r^2} $$ По свойствам описанной вокруг треугольника окружности $$ R=\frac{AC\cdot BC\cdot AB}{4\cdot S_{ABC}}=\frac{(h^2+r^2)\cdot 2\cdot r}{4\cdot r\cdot h}=\frac{1}{2}\cdot(h+\frac{r^2}{h}) $$ По условию $$ h\cdot r=3\sqrt{3} $$ Выражаем отсюда $r$ и подставляем в выше написанную формулу $$ R=\frac{1}{2}\cdot(h+\frac{27}{h^3}) $$ Из этой формулы ясно, что $R$ может принимать сколь угодно большие значения в зависимости от $h$. Выясним, какое значение $R$ является минимальным. Возьмем производную от $R$ по $h$ $$ R'_h=\frac{h^4-81}{2\cdot h^4} $$ Приравниваем это выражение к 0 и получаем $$ h=3 $$ Подставляем $h=3$ в исходное уравнение $R=\frac{1}{2}\cdot(h+\frac{27}{h^3})$ и получаем $$ R_{min}=2 $$ Следовательно, $R$ может принимать любые значения от $2$ до бесконечности.
Ответ: $[2;+\infty)$.

См. также

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru