Задание
Ребро $AD$ пирамиды $DABC$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости, проходящей через середины ребер $AB$, $AC$, $AD$, если $AD=25$, $AB=AC=10$, $BC=45$.
Решение
Прямые $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1A_1$ являются средними линиями треугольников $ABD$, $BCD$, $CDA$ и параллельны прямым $AB$, $BC$, $CA$. Следовательно, плоскость $A_1B_1C_1$ параллельна плоскости $ABC$. Из параллельности плоскостей $A_1B_1C_1$ и $ABC$ следует, что прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1$, следовательно, искомым расстоянием является расстояние $AA_1$. Так как $A_1$ - середина ребра $AD$ $$ AA_1=\frac{AD}{2}=12.5 $$
Ответ: 12.5.