Задание
В кубе $A...D_1$ найдите тангенс угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $BDD_1$.
Дано
- $A...D_1$ — куб со стороной $a$
- $BDD_1$ — плоскость
- $AC_1$ — прямая
- угол между $AC_1$ и $BDD_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какой, собственно, угол нам нужно искать:
- Нам нужно найти угол между прямой $AC_1$ и плоскостью $BDD_1$.
- Опускаем на плоскость $BDD_1$ перпендикулярную ей прямую $AO$.
- Проводим через точки $O$ и $O_1$ прямую $OO_1$. Эта прямая является проекцией прямой $AC_1$ на плоскость $BDD_1$.
- По определению, углом между прямой $AC_1$ и плоскостью $BDD_1$ будет угол $AO_1O$ между прямой $AC_1$ ее проекцией $OO_1$.
Точка $O_1$ находится на пересечении диагоналей куба, следовательно, она является центральной точкой куба. Отсюда следует, что $$ OO_1=\frac{a}{2} $$ Точка $O$ является центральной точкой грани $ABCD$, следовательно, она делит отрезок $AC$ пополам. По свойствам куба, $AC=\sqrt{2}\cdot a$, следовательно $$ AO=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a $$ Угол $AOO_1$ прямой, потому что прямая AO перпендикулярна плоскости $BDD_1$. Из прямоугольного треугольника $AOO_1$ $$ \operatorname{tg} AO_1O=\frac{AO}{OO_1}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{a}{2}}=\sqrt{2} $$
Ответ: $\sqrt{2}$.