ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 42

Задание

В правильной шестиугольной призме $A...F_1$, все ребра которой равны $1$, точки $G$, $H$ - средины ребер $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Найдите косинус угла между прямыми $AG$ и $BH$.

Решение

  1. Пусть $A_2$, $B_2$ - середины отрезков $OC$ и $BC$.
  2. Прямая $AG$ параллельна прямой $A_2C_1$.
  3. Прямая $BH$ параллельна прямой $B_2C_1$.
  4. Искомым углом является угол $A_2C_1B_2$.
Прямые $AG$ и $BH$ имеют длину $$ AG=BH=\frac{\sqrt{5}}{2} $$ Прямая $A_2B_2$ является средней линией треугольника $OBC$, поэтому $$ A_2B_2=\frac{OB}{2}=\frac{1}{2} $$ По теореме косинусов $$ \cos A_2C_1B_2=\frac{AG^2+BH^2-A-2B_2^2}{2\cdot AG \cdot BH} $$ Подставляем в формулу цифры $$ \cos A_2C_1B_2=\frac{2\cdot\frac{5}{4}-\frac{1}{4}}{2\cdot \frac{5}{4}}=\frac{9}{10} $$
Ответ: $\frac{9}{10}$.

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru