ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 45

1. Пусть $F$ - середина ребра $AB$.
2. Прямая $FB_1$ параллельна прямой $AE$. Искомый угол есть угол между $FB_1$ и $BDD_1$.
3. Строим точку $G$ так, что угол $FGB$ прямой. Тогда $FG$ перпендикулярна $BDD_1$, $B_1G$ является проекцией $B_1F$ на $BDD_1$.
4. Искомым углом является угол $FB_1B$.

Пусть длина стороны куба равна $a$. Тогда из прямоугольного треугольника $B_1BF$ $$ B_1F=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{5}\cdot a}{2} $$ Угол $GBF$ равен $45$ градусам, угол $FGB$ прямой, значит, треугольник $FGB$ равнобедренный и прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ FG=FB\cdot \sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}a}{4} $$ Из прямоугольного треугольника $FGB_1$ $$ \sin FB_1B=\frac{FG}{FB_1}=\frac{\frac{\sqrt{2}a}{4}}{\frac{\sqrt{5}\cdot a}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10} $$