Задание
В правильной шестиугольной призме $A....F_1$, все рёбра равны $1$, найти угол между прямыми $AB_1$ и $BE_1$.
Решение
- Решаем задачку методом координат. Вводим систему координат с центром в точке $A$.
- Координаты интересных нам точек $A(0,0,0),\ B_1(1,0,1),\ B(1,0,0),\ E_1(0,\sqrt{3},1) $
- Видно, что угол между векторами $AB_1$ и $BE_1$ не тупой. Значит, нам нужно искать угол между этими векторами.
- Координаты вектора $AB_1$: $AB_1(1-0,0-0,1-0)=AB_1(1,0,1)$
- Координаты вектора $BE_1$: $BE_1(0-1,\sqrt{3}-0,1-0)=(-1,\sqrt{3},1)$
- По формуле скалярного произведения векторов $\cos(AB_1,BE_1)=\dfrac{1\cdot -1+0\cdot\sqrt{3}+1\cdot 1}{\sqrt{1^2+0+1^2}\cdot\sqrt{1^2+3+1^2}}=0$
- Следовательно $\angle (AB_1,BE_1)=90^{\circ}$