ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 48

1. Пусть $r$ - длина радиуса основания конуса.
2. Если образующие $AC$ и $BC$ лежат в одной плоскости $BAC$ (как на рисунке), то тогда, в треугольнике $ABC$ $AC=BC=2\cdot r$, $AB=r+r=2\cdot r$. Треугольник $ABC$ равносторонний, следовательно, $\angle ACB=60^{\circ}$.

Если образующие $AC$ и $BC$ лежат в разных плоскостях $AOC$ и $BOC$, то тогда угол $ACB$ между ними больше $0$, но меньше $60$ градусов. То, что он меньше $60$ градусов, следует из того, что в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны $2\cdot r$, а сторона $AB$ меньше $2\cdot r$. Из треугольника $ABC$ по теореме косинусов $$\cos ACB=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}$$ Подставляем цифры $$ \cos ACB=\frac{4r^2+4r^2-AB^2}{2\cdot 4r^2} $$ Упрощаем и оцениваем с учетом того, что $\frac{AB}{2r}<1$ $$ \cos ACB=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{AB}{2r}\cdot \frac{AB}{2r}>\frac{1}{2} $$ Из неравенства $\cos ACB>\frac{1}{2}$ следует, что $$ \angle ACB<60^{\circ} $$