Задание
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой $BB_1$ и плоскостью $AB_1C_1$.
Дано
- $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма со стороной 1
- $BB_1$ — прямая
- $AB_1C_1$ — плоскость
- тангенс угла между $BB_1$ и $AB_1C_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какой, собственно, угол нам нужно искать:
- Нам нужно найти угол между прямой $BB_1$ и плоскостью $AB_1C_1$.
- Проводим прямую $DD_1$. Прямая $DD_1$ параллельна прямой $BB_1$, поэтому угол между $DD_1$ и $AB_1C_1$ будет равен углу между $BB_1$ и $AB_1C_1$.
- Опускаем на плоскость $AB_1C_1$ перпендикулярную ей прямую $DE$.
- Проводим через точки $D_1$ и $E$ прямую $ED_1$. Эта прямая является проекцией прямой $DD_1$ на плоскость $AB_1C_1$.
- Для удобства дальнейшей работы, проводим отрезки $EA$ и $AD$.
- По определению, углом между прямой $DD_1$ и плоскостью $AB_1C_1$ будет угол $AD_1D$ между прямой $DD_1$ ее проекцией $AD_1$.
По свойствам правильной треугольной призмы $$ DD_1=1,\ AD=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1 $$ Угол $D_1DA=90^{\circ}$, потому что прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Следовательно, треугольник $ADD_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ \operatorname{tg} AD_1D=\frac{AD}{DD_1}=\frac{\sqrt{3}}{2} $$
Ответ: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.