Задание
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны $1$. Точка $E$ является серединой ребра $SC$. Найдите синус угла между прямой $BE$ и плоскостью $SAD$.
Решение
- В основании пирамиды квадрат со стороной $1$, длины его диагоналей равны $\sqrt{2}$.
- Длина прямой $KC$ равна четверти диагонали $KC=\frac{\sqrt{2}}{4}$, $EK=\sqrt{EC^2-KC^2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
- Решим данную задачу методом координат. Введем систему координат с центром в точке $O$, как показано на рисунке.
- Координаты точек $A(0,-\frac{\sqrt{2}}{2},0),\ D(\frac{\sqrt{2}}{2},0,0),\ S(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2})$, $B(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,0),\ E(0,\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4})$
- Вектор $BE$ имеет координаты $BE(0+\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{4}-0,\frac{\sqrt{2}}{4}-0)=BE(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4})$
- Составляем матрицу $M$ по точкам $A$, $D$, $S$: $M=\begin{pmatrix} x-0 & y+\frac{\sqrt{2}}{2} & z-0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2}-0 & 0+\frac{\sqrt{2}}{2} & 0-0 \\ 0-0 & 0+\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x & y+\frac{\sqrt{2}}{2} & z \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$
- Вычисляем определитель матрицы $M$: $\det M=x\cdot \frac{1}{2}-(y+\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot \frac{1}{2}+z\cdot \frac{1}{2}$
- Пусть $A$, $B$, $C$ - коэффициенты перед $x$, $y$ и $z$ в предыдущей формуле: $A=\frac{1}{2},\ B=-\frac{1}{2},\ C=\frac{1}{2} $
- Вычисляем искомый угол по формуле $ \sin (BE,ADS)=\dfrac{|\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}|}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}\cdot\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}}=\frac{\sqrt{2}}{3} $