Задание
В правильной шестиугольной призме $A...F_1$ все ребра которой равны 1, точка $G$ — середина ребра $A_1B_1$. Найдите синус угла между прямой $AG$ и $BDD_1$.
Дано
- $A..F1$ — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1
- $G$ — середина ребра $A_1B_1$
- $AG$ — прямая
- $BDD_1$ — плоскость
- синус угла между $AG$ и $BDD_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какой, собственно, угол нам нужно искать:
- Нам нужно найти синус угла между прямой $AG$ и плоскостью $BDD_1$.
- Проводим прямую $B_1G_1$. Прямая $B_1G_1$ параллельна прямой $AG$, поэтому угол между $B_1G_1$ и $BDD_1$ будет равен углу между $AG$ и $BDD_1$.
- Опускаем на плоскость $BDD_1$ перпендикулярную ей прямую $G_1B$.
- Проводим через точки $B$ и $B_1$ прямую $BB_1$. Эта прямая является проекцией прямой $B_1G_1$ на плоскость $BDD_1$.
- По определению, углом между прямой $B_1G_1$ и плоскостью $BDD_1$ будет угол $G_1B_1B$ между прямой $B_1G_1$ ее проекцией $BC$.
С учетом того, что точка $G_1$ является серединой $AB$, получаем $$ G_1B=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2} $$ Из прямоугольного треугольника $B_1BG_1$ $$ B_1G_1=\sqrt{G_1B^2+BB_1^2}=\frac{\sqrt{5}}{2} $$ Из прямоугольного треугольника $B_1BG_1$ $$ \sin G_1B_1B=\frac{G_1B}{B_1G_1}=\frac{1}{\sqrt{5}} $$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5}}$.
См. также
- Обсуждение задачи на форуме ucheba.pro
- Угол между прямой и плоскостью
- Правильная шестиугольная призма