Задание
В единичном кубе $A...D_1$ найдите тангенс угла между плоскостями $ADD_1$ и $BDC_1$.
Дано
- $A...D_1$ — единичный куб
- $ADD_1$ и $BDC_1$ — плоскости
- тангенс угла между $ADD_1$ и $BDC_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какой, собственно, угол нам нужно искать:
- Нам нужно найти угол между плоскостями $ADD_1$ и $BDC_1$.
- Обращаем внимание на плоскость $BCC_1$. Плоскость $BCC_1$ параллельна плоскости $ADD_1$, следовательно, угол между плоскостями $BCC_1$ и $BDC_1$ равен углу между плоскостями $ADD_1$ и $BDC_1$.
- Обращаем внимание на то, что плоскости $BCC_1$ и $BDC_1$ пересекаются по прямой $BC_1$.
- Строим плоскость $DEC$ так, чтобы она была перпендикулярна прямой $BC_1$.
- Обращаем внимание на то, что плоскости $BDC_1$ и $DEC$ пересекаются по прямой $DE$.
- Обращаем внимание на то, что плоскости $BCC_1$ и $DEC$ пересекаются по прямой $EC$.
- По определению, углом между плоскостями $BCC_1$ и $BDC_1$ будет угол $DEC$.
В прямоугольном треугольнике $ECC_1$ $$ CC_1=1,\ EC_1=\frac{BC_1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2},\ EC=\sqrt{CC_1^2-C_1E^2}=\frac{1}{\sqrt{2}} $$ В прямоугольном треугольнике $DCE$ $$ \angle ECD=90^{\circ},\ CD=1,\ \operatorname{tg} DEC=\frac{DC}{EC}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2} $$
Ответ: $\sqrt{2}$.