Задание
Решите неравенство $$ \log_{3x-5}(x-1)^2<1 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} 3x-5>0 \\ 3x-5\neq1 \end{gather}\right.\ \Leftrightarrow \ x>\frac{5}{3},\ x\neq2$ Перепишем неравенство в виде $$ \log_{3x-5}(x-1)^2<\log_{3x-5} (3x-5) $$ 1) Рассматриваем случай $x<2$:
Если $x<2$, то тогда $3x-5<1$. Избавляемся от логарифмов, одновременно меняем знак неравенства на противоположный $$ (x-1)^2>3x-5 $$ Решаем квадратное уравнение $(x-1)^2-3x+5=0$, получаем корни $x=2,\ x=3$, методом интервалов получаем промежуточный ответ $$ x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty) $$ Из промежуточного ответа, с учетом ограничения $x<2$ и ОДЗ, получаем окончательный ответ $$ x\in(\frac{5}{3};2) $$
2) Рассматриваем случай $x>2$:
Если $x>2$, то тогда $3x-5>1$. Избавляемся от логарифмов $$ (x-1)^2<3x-5 $$ Решаем квадратное уравнение $(x-1)^2-3x+5=0$, получаем корни $x=2,\ x=3$, методом интервалов получаем промежуточный ответ $$ x\in(2;3) $$ Из промежуточного ответа, с учетом ограничения $x>2$ и ОДЗ, получаем окончательный ответ $$ x\in(2;3) $$
Объединяя результаты для $x>2$ и $x<2$, получаем ответ $$x\in(\frac{5}{3};2)\cup(2;3)$$ Ответ: $(\frac{5}{3};2)\cup(2;3)$.