Задание
Решите неравенство $$ \log_x(\log_2(4^x-2))\geq 1 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x>0 \\ x\neq1 \\ 4^x-2>0 \end{gather}\right.\ \Leftrightarrow \ x>\frac{1}{2},\ x\neq1$ Переписываем неравенство в виде $$ \bf{\log_x(\log_2(4^x-2))\geq \log_x x} $$ 1) Рассматриваем случай $x<1$:
Избавляемся от логарифмов в левой и правой частях уравнения. Не забываем о том, что $x$ в основании логарифмов меньше 1, поэтому, при избавлении от логарифмов знак неравенства сменится на противоположный $$ \log_2(4^x-2)\leq x $$ Переписываем это неравенство в виде $$ \log_2(4^x-2)\leq \log_2 2^x $$ Избавляемся от логарифмов в левой и правой частях уравнения $$ 4^x-2\leq 2^x $$ Делаем замену $2^x=t$ и получаем $$ t^2-2\leq t $$ Решаем уравнение $t^2-t-2=0$, получаем корни $t=-1,\ t=2$, раскладываем выражение $t^2-t-2$ на скобки $$ (t+1)\cdot (t-2)\leq 0 $$ Методом интервалов получаем $t\in[-1;2]$, делаем обратную замену $$ -1\leq 2^x \leq 2 $$ Из этого неравенства получаем промежуточный ответ $$ x\in[0;1] $$ C учетом ОДЗ и ограничений, получаем окончательный ответ $$ x\in(\frac{1}{2};1) $$
2) Рассматриваем случай $x>1$:
Если $x>1$, тогда $$ \log_2(4^x-2)\geq x $$ Откуда $$2^x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty)\Rightarrow\ x\in[1;+\infty) $$ С учетом ОДЗ и ограничений $$ x\in(1;+\infty) $$
Объединяя результаты для $x>1$ и $x<1$, получаем ответ $$x\in(\frac{1}{2};1)\cup(1;+\infty)$$ Ответ: $(\frac{1}{2};1)\cup(1;+\infty)$.