Задание
Решите неравенство $$ 4^{\log_5 \bigl( \tfrac{x-1}{x+3} \bigr)}<\tfrac{1}{16} $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} \tfrac{x-1}{x+3}>0 \\ x+3\neq0 \end{gather}\right.\ \Leftrightarrow \ x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$
Переписываем неравенство в виде $$ 4^{\log_5 \bigl( \tfrac{x-1}{x+3} \bigr)}<4^{-2} $$ Избавляемся от оснований степеней в левой и правой частях неравенства $$ \log_5 \bigl( \tfrac{x-1}{x+3} \bigr)<-2 $$ Переписываем это в виде $$ \log_5 \bigl( \tfrac{x-1}{x+3} \bigr)<\log_5 5^{-2} $$ Избавляемся от логарифмов в левой и правой частях неравенства $$ \frac{x-1}{x+3}<5^{-2} $$ Приводим неравенство к общему знаменателю $$ \frac{4(6x-7)}{25(x+3)}<0 $$ Методом интервалов получаем $$ x\in(-3;\frac{7}{6}) $$ С учетом ОДЗ получаем ответ $$x\in(1;\frac{7}{6})$$
Ответ: $(1;\frac{7}{6})$.