ЕГЭ по математике задание С3 ЗАДАЧКА 19


Задание

Решите неравенство $$ (x+\dfrac{9}{x})\bigl(\dfrac{\sqrt{x^2-8x+16}-1}{\sqrt{13-x}-1}\bigr)^2\geq 10\bigl(\dfrac{\sqrt{x^2-8x+16}-1}{\sqrt{13-x}-1}\bigr)^2 $$

Решение

ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x^2-8x+16\geq0 \\ 13-x\geq0 \\ x\neq0 \\ \sqrt{13-x}-1\neq0 \end{gather}\right.\ \Leftrightarrow \ x\leq13,\ x\neq12,\ x\neq0$
Переносим правую часть неравенства налево $$ (x+\dfrac{9}{x})\bigl(\dfrac{\sqrt{x^2-8x+16}-1}{\sqrt{13-x}-1}\bigr)^2 - 10\bigl(\dfrac{\sqrt{x^2-8x+16}-1}{\sqrt{13-x}-1}\bigr)^2 \geq 0 $$ Выносим общий множитель $$ \bigl(\dfrac{\sqrt{x^2-8x+16}-1}{\sqrt{13-x}-1}\bigr)^2\cdot(x+\frac{9}{x}-10)\geq0 $$ Приводим правую скобку к общему знаменателю, раскладываем числитель правой скобки на множители $$ \dfrac{(\sqrt{x^2-8x+16}-1)^2}{(\sqrt{13-x}-1)^2}\cdot\frac{(x-1)(x-9)}{x}\geq0 $$ Выражение $(\sqrt{x^2-8x+16}-1)^2$ равно 0 при $\bf{x=3}$ и $\bf{x=5}$, при остальных значениях $x$ это выражение строго больше 0. Выражение $(\sqrt{13-x}-1)^2$ строго больше 0 при всех $x\in\text{ОДЗ}$. Отбрасываем эти 2 члена и получаем неравенство $$ \frac{(x-1)(x-9)}{x}\geq0 $$ Решаем это неравенство методом интервалов $$ x\in[0;1]\cup[9;+\infty) $$ Откуда, с учетом ОДЗ и ранее полученных решений $x=3$ и $x=5$ получаем ответ $$ x\in(0;1]\cup[9;12)\cup(12;13]\cup\{5\}\cup\{3\} $$
Ответ: $ (0;1]\cup[9;12)\cup(12;13]\cup\{5\}\cup\{3\} $.

Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru