ЕГЭ по математике задание С3 ЗАДАЧКА 20


Задание

Решите неравенство $$ \sqrt{x^5-2x^3+x}\geq |x^2-1| $$

Решение

ОДЗ: $x^5-2x^3+x\geq0\ \Leftrightarrow \ x\in[0;+\infty)\cup\{-1\}$ 1) Находим ОДЗ:
Для нахождения ОДЗ, нужно решить неравенство $x^5-2x^3+x\geq0$. Выносим $x$ за скобки в левой части неравенства $$ x(x^4-2x^2+1)\geq0 $$ Обращаем внимание, что выражение в скобках является полным квадратом $$ x(x^2-1)^2\geq0 $$ Раскладываем выражение $x^2-1$ по формуле разности квадратов $$ x(x-1)^2(x+1)^2\geq0 $$ Решаем получившееся неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ $$x\in[0;+\infty)\cup\{-1\}$$
2) Решаем неравенство:
Переписываем неравенство в виде $$ \sqrt{x(x^2-1)^2}\geq \sqrt{(x^2-1)^2} $$ Возводим правую и левую части неравенства в квадрат $$ x(x^2-1)^2\geq(x^2-1)^2 $$ Выносим общий множитель $$ (x^2-1)^2\cdot(x-1)\geq0 $$ Раскладываем выражение $x^2-1$ по формуле разности квадратов $$ (x+1)^2(x-1)^2\cdot(x-1)\geq0 $$ Методом интервалов, с учетом ОДЗ получаем ответ $$ x\in[1;+\infty)\cup\{-1\} $$
Ответ: $ [1;+\infty)\cup\{-1\} $.

Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru