Задание
Решите неравенство $$ \dfrac{(x-2)\sqrt{x-2}+1}{x-3}< \sqrt{x-2}+\dfrac{2}{3} $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x-2\geq0 \\ x-3\neq0 \end{gather}\right.\ \Leftrightarrow \ x\geq2,\ x\neq3$
Переписываем знаменатель $x-3$ левой скобочки в виде $(x-2)-1$ $$\dfrac{(\sqrt{x-2})^3+1}{(x-2)-1}< \sqrt{x-2}+\dfrac{2}{3}$$ Делаем замену $t=\sqrt{x-2}$ $$ \dfrac{t^3+1}{t^2-1}< t+\dfrac{2}{3} $$ Раскрываем числитель $t^3+1$ левой скобочки по формуле суммы кубов $$ \dfrac{(t+1)(t^2-t+1)}{(t-1)(t+1)}< \frac{3t+2}{3} $$ Сокращаем $t+1$ в числителе и знаменателе левой скобочки $$ \dfrac{t^2-t+1}{t-1}- \frac{3t+2}{3}<0 $$ Приводим неравенство к общему знаменателю $$ \dfrac{3t^2-3t+3-(3t+2)(t-1)}{3(t-1)}<0 $$ Упрощаем выражение в числителе $$ -\dfrac{2t-5}{t-1}<0 $$ Решаем получившееся неравенство методом интервалов и делаем обратную замену $$ \sqrt{x-2}\in(-\infty;1)\cup(\frac{5}{2};+\infty) $$ Откуда $$ x\in[2;3)\cup(\frac{33}{4};+\infty) $$ С учетом ОДЗ получаем ответ $$x\in[2;3)\cup(\frac{33}{4};+\infty)$$
Ответ: $[2;3)\cup(\frac{33}{4};+\infty)$.