ЕГЭ по математике задание С3 ЗАДАЧКА 22


Задание

Решите неравенство $$ \sqrt{-2x^2+6x+36}-6\leq x^2-3x $$

Решение

ОДЗ: $ -2x^2+6x+36\geq0 \ \Leftrightarrow\ x\in[-3;6]$
Переписываем уравнение в виде $$ \sqrt{-2x^2+6x+36}\leq x^2-3x+6 $$ Возводим в квадрат и извлекаем корень из всегда неотрицательной правой части неравенства $$ \sqrt{-2x^2+6x+36}\leq \sqrt{(x^2-3x+6)^2} $$ Переписываем выражение $x^2-3x$ в правой части неравенства в виде $\frac{1}{2}\cdot(2x^2-6x)$ $$ \sqrt{-2x^2+6x+36}\leq \sqrt{(\frac{1}{2}\cdot(2x^2-6x)+6)^2} $$ Возводим левую и правую части неравенства в квадрат и делаем замену $t=2x^2-6x$ $$ -t+36\leq(\frac{t}{2}+6)^2 $$ Переносим левую часть неравенства направо $$ 0\leq(\frac{t}{2}+6)^2+t-36 $$ Решаем квадратное неравенство и получаем $$ t\in(-\infty,-28]\cup[0,+\infty) $$ Делаем обратную замену $$ 2x^2-6x\leq-28,\ 2x^2-6x\geq0 $$ Решаем эти два квадратных неравенства и объединяем полученные ответы $$ x\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty) $$ С учетом ОДЗ получаем окончательный ответ $$x\in[-3;0]\cup[3;6]$$
Ответ: $[-3;0]\cup[3;6]$.

Аналогичные задачки

  1. Решите неравенство $$\sqrt{x^2-3x+5}+x^2\leq 3x+7$$

Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru