Задание
Решите неравенство $$ |x+2|\leq \dfrac{1}{x+2} $$Решение
ОДЗ: $x+2\neq0\ \Leftrightarrow \ x\neq-2$ 1) Решаем неравенство для случая $x<-2$:
Если $x<-2$, то модуль $|x+2|$ в левой части неравенства раскрывается как $-(x+2)$ $$ -(x+2)\leq \dfrac{1}{x+2} $$ Приводим неравенство к общему знаменателю $$ \frac{-(x+2)^2-1}{x+2}\leq0 $$ Выражение $-(x+2)^2-1$ строго меньше 0 при любых значениях $x$, поэтому, от него можно избавиться, поменяв знак неравенства на противоположный $$ \frac{1}{x+2}\geq0 $$ Методом интервалов решаем получившееся неравенство $$ x\in(-2,+\infty) $$ С учетом ограничения $x<-2$, получается, что удовлетворяющих условию значений $x$ нет.
2) Решаем неравенство для случая $x>-2$:
Если $x<-2$, то модуль $|x+2|$ в левой части неравенства раскрывается как $+(x+2)$ $$ x+2\leq \dfrac{1}{x+2} $$ Приводим неравенство к общему знаменателю $$ \frac{(x+2)^2-1}{x+2}\leq0 $$ Представляем квадратное выражение $(x+2)^2-1$ в числителе в виде произведения скобочек $$ \frac{(x+1)(x+3)}{x+2}\leq0 $$ Решаем получившееся неравенство методом интервалов $$ x\in(-\infty,-3]\cup(-2,1] $$ С учетом ограничений и ОДЗ, получаем окончательный ответ $$ x\in(2;1] $$
Ответ: $x\in(2;1]$.
Аналогичные задачки
- Решите неравенство $$|-2x+4|\geq x-1$$
- Решите неравенство$$\dfrac{x+3}{|x+3|}\leq \dfrac{1}{x+3}$$