ЕГЭ по математике задание С3 ЗАДАЧКА 25


Задание

Решите неравенство $$ ||x-1|-2x|\leq x+1 $$

Решение

Замечаем, что правая часть неравенства всегда неотрицательна: $x+1\geq0\ \Rightarrow\ x\geq-1$ Вместо решения исходного неравенства, можно решить неравенства $ \left[\begin{gather} |x-1|-2x\leq x+1 \\ -(|x-1|-2x)\leq x+1 \end{gather}\right. $ и объединить полученные в результате решения этих неравенств ответы. 1) Решаем неравенство $|x-1|-2x\leq x+1$:
Если $x\geq1$, тогда это неравенство перепишется в виде $$ x-1\leq 3x+1 $$ Упрощаем неравенство и получаем $$ x\geq-1 $$ Откуда, с учетом ограничений $x\geq1,\ x\geq -1$ $$ \bf{x\geq1} $$ Если $x<1$, тогда это неравенство перепишется в виде $$ -(x-1)\leq 3x+1 $$ Упрощаем неравенство и получаем $$ 4x\geq0 $$ Откуда, с учетом ограничений $x<1,\ x\geq -1$ $$ \bf{x\in[0,1)} $$
2) Решаем неравенство $-(|x-1|-2x)\leq x+1$:
Если $x\geq1$, тогда это неравенство перепишется в виде $$ -x+1\leq -x+1 $$ Откуда, с учетом ограничений $x\geq-1\,\ x\geq1$ $$ \bf{x\geq 1} $$ Если $x<1$, тогда это неравенство перепишется в виде $$ x-1\leq -x+1 $$ Откуда $$ x\leq1 $$ Откуда, с учетом ограничений $x\geq-1,\ x<1$ $$ \bf{x\in[-1,1)} $$
Объединяя четыре полученных результата, получаем ответ $$ x\in[-1,+\infty) $$ Ответ: $[-1,+\infty)$.

Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru