ЕГЭ по математике задание С3 ЗАДАЧКА 26


Задание

Решите неравенство $$ (2^{\tfrac{2}{x}}-2)\cdot\frac{x-12}{\log_{2x}(6x-5)}\geq0 $$

Решение

ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x\neq0 \\ 2x>0 \\ 2x\neq1 \\ 6x-5>0 \\ \log_{2x}(6x-5)\neq0 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x\in(\frac{5}{6},1)\cup(1,+\infty)$
Функция $y=2^t$ возрастающая. Следовательно, выражение $2^{\tfrac{2}{x}}-2^1$ является разницей возрастающих функций, а значит, методом замены множителей это выражение можно заменить выражением $\tfrac{2}{x}-1$, при этом знак исходного неравенства не поменяется $$ (\tfrac{2}{x}-1)\cdot\frac{x-12}{\log_{2x}(6x-5)}\geq0 $$ Переписываем знаменатель $\log_{2x}(6x-5)$ правого сомножителя в виде $\log_{2x}(6x-5)-\log_{2x}1$ $$ (\tfrac{2}{x}-1)\cdot\frac{x-12}{\log_{2x}(6x-5) - \log_{2x}1}\geq0 $$ Функция $y=\log_{2x}t$ возрастающая при $x\in\text{ОДЗ}$. Следовательно, выражение $\log_{2x}(6x-5) - \log_{2x}1$ является разницей возрастающих функций, а значит, методом замены множителей это выражение можно заменить выражением $6x-5-1$, при этом знак исходного неравенства не поменяется $$ (\tfrac{2}{x}-1)\cdot\frac{x-12}{6x-5-1}\geq0 $$ Приводим правую скобку к общему знаменателю $$ -\frac{x-2}{x}\cdot\frac{x-12}{6(x-1)}\geq0 $$ Решаем это неравенство методом интервалов $$ x\in[0,1]\cup[2,12] $$ С учетом ОДЗ окончательный ответ $$ x\in(\frac{5}{6},1)\cup[2,12] $$
Ответ: $x\in(\frac{5}{6},1)\cup[2,12]$.

Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru