ЕГЭ по математике задание С3 ЗАДАЧКА 27

Если $x\in(-1,1)$, то тогда $|x-2|>1$. Переписываем исходное неравенство в виде $$ \log_{|x-2|}(2-|x-1|)-\log_{|x-2|} |x-2|<0 $$ Функция $y=\log_{|x-2|}t$ возрастающая при $|x-2|>1$. Следовательно, выражение $\log_{|x-2|}(2-|x-1|)-\log_{|x-2|} |x-2|$ является разницей двух возрастающих функций, и к нему можно применить метод замены множителей, заменив его выражением $2-|x-1|-|x-2|$. При этом, знак исходного неравенства останется неизменным. $$ 2-|x-1|-|x-2|<0 $$ При $x\in(-1,1)$, оба модуля в неравенстве однозначно раскрываются со знаком минус $$ 2+(x-1)+(x-2)<0 $$ Получаем $$ x<\frac{1}{2} $$ С учетом ОДЗ $$ x\in(-1,\frac{1}{2}) $$

Если $x\in(1,3)$, то тогда $|x-2|<1$. Переписываем исходное неравенство в виде $$ \log_{|x-2|}(2-|x-1|)-\log_{|x-2|} |x-2|<0 $$ Функция $y=\log_{|x-2|}t$ строго убывает при $|x-2|<1$. Следовательно, выражение $\log_{|x-2|}(2-|x-1|)-\log_{|x-2|} |x-2|$ является разницей двух убывающих функций, и к нему можно применить метод замены множителей, заменив его выражением $2-|x-1|-|x-2|$. При этом, знак исходного неравенства поменяется на противоположный. $$ 2-|x-1|-|x-2|>0 $$ При $x\in(1,3)$, модуль $|x-1|$ всегда раскрывается однозначно со знаком плюс. Если $x\geq2$, второй модуль раскрывается со знаком плюс $$ 2-(x-1)-(x-2)>0 $$ Откуда $$ x<\frac{5}{2} $$ Если $x<2$, второй модуль раскрывается со знаком минус $$ 2-(x-1)+(x-2)>0 $$ Откуда получается верное тождество $$ 1>0 $$ Объединяя ответы для $x\geq2$ и $x<2$, получаем $$ x\in(-\infty,2)\cup [2,\frac{5}{2}) $$ С учетом ОДЗ, получаем окончательный ответ $$ x\in (1,2)\cup(2,\frac{5}{2}) $$