Задание
Решите неравенство $$ \frac{\sqrt{1-x^3}-1}{x+1}\leq x $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x+1\neq0 \\ 1-x^3\geq0 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x\leq1,\ x\neq-1 $
Переносим $x$ налево и приводим неравенство к общему знаменателю $$ \frac{\sqrt{1-x^3}-1-x^2-x}{x+1}\leq0 $$ Раскладываем выражение $1-x^3$ на скобки по формуле суммы кубов $$ \frac{\sqrt{(1-x)\cdot(1+x+x^2)}-(1+x+x^2)}{x+1}\leq0 $$ Выносим за скобки $\sqrt{1+x+x^2}$ $$ \sqrt{1+x+x^2}\cdot\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x+x^2}}{x+1}\leq0 $$ Переписываем выражение $\sqrt{1+x+x^2}$ в виде $\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{0}$ $$ (\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{0})\cdot\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x+x^2}}{x+1}\leq0 $$ Функция $y=\sqrt{t}$ возрастающая. Следовательно, выражения $\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{0}$ и $\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x+x^2}$ являются разницей двух возрастающих функций, и к ним можно применить метод замены множителей, заменив их выражениями $1+x+x^2-0$ и $1-x-(1+x+x^2)$. При этом, зак исходного неравенства останется прежним $$ (1+x+x^2-0)\cdot\frac{1-x-(1+x+x^2)}{x+1}\leq0 $$ Выражение $1+x+x^2-0$ всегда строго положительно, следовательно, его можно отбросить из неравенства с сохранением знака. Представляем выражение $1-x-(1+x+x^2)$ в виде произведения двух скобок $$ -\frac{(x-0)(x+2)}{x+1}\leq0 $$ Решаем это неравенство и получаем $$ x\in[-2;-1)\cup[0;+\infty) $$ С учетом ОДЗ $$ x\in[-2;-1)\cup[0;1] $$
Ответ: $x\in[-2;-1)\cup[0;1]$.