Задание
Решите уравнение $$ \sqrt{x}+\sqrt{x(x+2)}-\sqrt{(x+1)^3}=0 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x\geq0 \\ x(x+2)\geq0 \\ (x+1)^3\geq0 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x\geq0$
Переносим третье слагаемое левой части направо $$ \sqrt{x}+\sqrt{x(x+2)}=\sqrt{(x+1)^3} $$ Возводим левую и правую части в квадрат $$ x+2\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{x(x+2)}+x(x+2)=x^3+3x^2+3x+1 $$ Переносим все слагаемые направо и группируем члены $$ x^3+2x^2-2\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{x(x+2)}+1=0 $$ Выносим $x^2$ в первом и втором слагаемом $$ x^2\cdot(x+2)-2\cdot x\cdot\sqrt{x+2}+1=0 $$ Выражение в левой части равенства можно свернуть по формуле суммы квадратов $$ (x\sqrt{x+2}-1)^2=0 $$ Извлекаем корень из левой и правой частей уравнения, переносим 1 направо $$ x\sqrt{x+2}=1 $$ Возводим правую и левую части уравнения в квадрат $$ x^2\cdot(x+2)=1 $$ Переносим все налево $$ x^3+2x^2-1=0 $$ Угадываем корень этого уравнения $x=-1$ и раскладываем левое выражение на произведение двух скобок при помощи деления многочленов друг на друга $$ (x+1)(x^2+x-1)=0 $$ Решаем уравнение и получаем корни $$ x=-1,\ x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} $$ С учетом ОДЗ, из этих трех решений нам подходит только решение $$ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} $$
Ответ: $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.