Задание
Решите неравенство $$ 8\cdot\frac{3^{x-2}}{3^x-2^x}>1+(\frac{2}{3})^x $$Решение
ОДЗ: $3^x-2^x\neq0\ \Leftrightarrow\ x\neq0$ Правая часть неравенства всегда положительна, следовательно, положительной должна быть и левая часть неравенства. Поэтому, должно соблюдаться условие $3^x-2^x>0\ \Leftrightarrow\ x>0$
Переписываем член $3^{x-2}$ в виде $3^{x}\cdot3^{-2}$, также приводим правую часть неравенства к общему знаменателю $$ \frac{8}{9}\cdot\frac{3^x}{3^x-2^x}>\frac{3^x+2^x}{3^x} $$ Переносим знаменатели дробей в противоположные части неравенства $$ \frac{8}{9}\cdot3^{2x}>3^{2x}-2^{2x} $$ $$ 2^{2x}>3^{2x-2} $$ Берем логарифм по основанию $3$ от левой и правой частей неравенства. Так как основания логарифма $3>1$, знак неравенства при этом не меняется $$ \log_3 2^{2x}>2x-2 $$ $$ 2x\cdot \log_32>2x-2 $$ $$ \frac{1}{1-\log_32}>x $$ $$ x<\frac{1}{\log_33-\log_32} $$ $$ x<\frac{1}{\log_3\frac{3}{2}} $$ $$ x<\log_\tfrac{3}{2} 3 $$ С учетом ОДЗ и полученных в начале ограничений, окончательный ответ $$ x\in(0,\log_\tfrac{3}{2} 3) $$
Ответ: $x\in(0,\log_\tfrac{3}{2} 3)$.