Задание
Решите неравенство $$ \log_{12x^2-41x+35}(3-x)\geq\log_{2x^2-5x+3}(3-x) $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} 12x^2-41x+35>0 \\ 2x^2-5x+3>0 \\ 3-x>0 \\ 12x^2-41x+35\neq1 \\ 2x^2-5x+3\neq1 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x\in(-\infty;0.5)\cup(0.5,1)\cup(1.5,\frac{5}{3})\cup(\frac{7}{4},2)\cup(2,3)$
Переписываем решаемое неравенство в виде $$ 1\cdot(\log_{12x^2-41x+35}(3-x)-\log_{2x^2-5x+3}(3-x))\geq0 $$ Используем метод замены множителей $$ 1\cdot((2x^2-5x+3)-(12x^2-41x+35))\cdot((3-x)-1)\cdot((12x^2-41x+35)-1)\cdot((2x^2-5x+3)-1)\geq0 $$ Раскладываем все члены неравенства на скобки и получаем $$ (x-2)^4\cdot(x-\frac{8}{5})\cdot(x-\frac{17}{12})\cdot(x-\frac{1}{2})\geq0 $$ Решаем неравенство методом интервалов $$ x\in[\frac{1}{2},\frac{17}{12}]\cup[\frac{8}{5},2]\cup[2,+\infty) $$ С учетом ОДЗ, получаем окончательный ответ $$ x\in(\frac{1}{2},1)\cup[\frac{8}{5},\frac{5}{3})\cup(\frac{7}{4},2)\cup(2,3) $$
Ответ: $x\in(\frac{1}{2},1)\cup[\frac{8}{5},\frac{5}{3})\cup(\frac{7}{4},2)\cup(2,3)$.