Задание
Решите неравенство $$ \log_{2x+3}x^2<1 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} 2x+3>0 \\ 2x+3\neq1 \\ x^2>0 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x>-\frac{3}{2},\ x\neq-1,\ x\neq0$
Переносим $1$ налево и представляем ее в виде $\log_{2x+3}(2x+3)$ $$ \log_{2x+3}x^2-\log_{2x+3}(2x+3)<0 $$ Используем метод замены множителей $$ (x^2-(2x+3))\cdot(2x+3-1)<0 $$ Решаем неравенство методом интервалов и получаем $$ x\in(-\infty;-1)\cup(-1;3) $$ С учетом ОДЗ $$ x\in(-\frac{3}{2};-1)\cup(-1;0)\cup(0;3) $$
Ответ: $x\in(-\frac{3}{2};-1)\cup(-1;0)\cup(0;3)$.