Задание
Решите неравенство $$ \log_4y\cdot\log_{y-2}2\leq1 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} y>0 \\ y-2>0 \\ y-2\neq1 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ y>2,\ y\neq3$
Заменяем член $\log_{y-2}2$ на член $\dfrac{1}{\log_2(y-2)}$ $$ \frac{\tfrac{1}{2}\cdot\log_2y}{\log_2(y-2)}-1\leq0 $$ $$ \tfrac{1}{2}\cdot\frac{\log_2y-2\cdot\log_2(y-2)}{\log_2(y-2)}\leq0 $$ $$ \frac{\log_2y-\log_2(y-2)^2}{\log_2(y-2)}\leq0 $$ $$ \frac{\log_2\frac{y}{(y-2)^2}}{\log_2(y-2)}\leq0 $$ $$ \frac{\log_2\frac{y}{(y-2)^2}-\log_21}{\log_2(y-2)-\log_21}\leq0 $$ Применяем метод замены множителей к числителю и знаменателю $$ \frac{\frac{y}{(y-2)^2}-1}{(y-2)-1}\leq0 $$ $$ \frac{y-(y-2)^2}{(y-2)^2\cdot(y-3)}\leq0 $$ Раскладываем выражения на скобки $$ \frac{(y-4)\cdot(y-1)}{(y-3)\cdot(y-2)^2}\geq0 $$ Откуда $$ y\in[1;2)\cup(2;3)\cup[4;+\infty) $$ С учетом ОДЗ $$ y\in(2;3)\cup[4;+\infty) $$
Ответ: $ y\in(2;3)\cup[4;+\infty) $