ЕГЭ по математике задание С3 ЗАДАЧКА 43

Задание

Решите неравенство $$ (4x-x^2-3)\cdot\log_2(1+\cos^2\pi x)\geq1 $$

Решение

ОДЗ: $1+\cos^2\pi x>0$
Обращаем внимание на то, что $$ 1\leq 1+\cos^2\pi x \leq 2 $$ Откуда $$ \bf{0\leq \log_2(1+\cos^2\pi x) \leq 1} $$ Теперь, находим максимальное значение функции $f(x)=4x-x^2-3$. Приравниваем производную $f(x)$ к 0 $$ 4-2\cdot x=0 $$ Получаем точку экстремума $x_{max}=2$. Так как функция $f(x)$ является перевернутой параболой, ее точка экстремума является ее точкой максимума. Максимальное значение функции $f(x)$ в ее точке максимума равно $$ f(2)=1 $$ Выражение $(4x-x^2-3)\cdot\log_2(1+\cos^2\pi x)$, стоящее в левой части решаемого неравенства, меньше 1 при любых значениях $x$, не равных 2. Если $x=2$, это выражение принимает значение, равное 1. Следовательно, решаемое неравенство $(4x-x^2-3)\cdot\log_2(1+\cos^2\pi x)\geq1$ истинно только при $$ x=2 $$
Ответ: $ x=2 $

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru