Задание
Решите неравенство $$ \frac{1}{6x^2-5x}\geq\frac{1}{\sqrt{6x^2-5x+1}-1} $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} 6x^2-5x\neq0 \\ 6x^2-5x+1\geq0 \\ \sqrt{6x^2-5x+1}-1\neq0 \end{gather} \right.\ \Leftrightarrow\ x\in(-\infty;\frac{1}{3}]\cup[\frac{1}{2};\frac{5}{6})\cup(\frac{5}{6};+\infty)$
Переписываем исходное неравенство в виде $$ \frac{1}{(6x^2-5x+1)-1}-\frac{1}{\sqrt{6x^2-5x+1}-1}\geq0 $$ Делаем замену $t=\sqrt{6x^2-5x+1}$ $$ \frac{1}{t^2-1}-\frac{1}{t-1}\geq0 $$ Решаем неравенство и получаем $$ t\in[0;1) $$ Делаем обратную замену $$ 0\leq \sqrt{6x^2-5x+1} <1 $$ Решаем неравенство и получаем $$ x\in(0;\frac{1}{3}]\cup[\frac{1}{2};\frac{5}{6}) $$ С учетом ОДЗ $$ x\in(0;\frac{1}{3}]\cup[\frac{1}{2};\frac{5}{6}) $$
Ответ: $ x\in(0;\frac{1}{3}]\cup[\frac{1}{2};\frac{5}{6}) $