Задание
Решите неравенство $$ \dfrac{\log_{5^{x-3}}(x+2)}{\log_{5^{x-3}}x^2}<1 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} 5^{x-3}>0 \\ 5^{x-3}\neq1 \\ x+2>0 \\ x^2>0 \\\log_{5^{x-3}}x^2\neq0 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x\in(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty)$
Применяем к левой части неравенства формулу перехода к новому основанию $$ \log_{x^2}(x+2)<1 $$ Переносим $1$ в левую часть неравенства и представляем ее в виде $\log_{x^2}x^2$ $$ \log_{x^2}(x+2)-\log_{x^2}x^2<0 $$ Применяем метод замены множителей к левой части неравенства $$ ((x+2)-x^2)\cdot(x^2-1)<0 $$ Решаем это неравенство и получаем ответ $$ x\in(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty) $$ С учетом ОДЗ получаем окончательный ответ $$ x\in(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(2;3)\cup(3;+\infty) $$
Ответ: $x\in(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(2;3)\cup(3;+\infty)$