Задание
Решите неравенство $$ x+\sqrt{(x+0.5)+\sqrt{x+0.25}}\leq9 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x+0.25\geq0 \\ (x+0.5)+\sqrt{x+0.25}\geq0 \end{gather} \right. $
Переписываем большой корень $\sqrt{(x+0.5)+\sqrt{x+0.25}}$ в виде $\sqrt{(x+\frac{1}{4})+2\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{x+\frac{1}{4}}+(\frac{1}{2})^2}$ $$ x+\sqrt{(x+\frac{1}{4})+2\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{x+\frac{1}{4}}+(\frac{1}{2})^2}\leq9 $$ Выражение под большим корнем является полным квадратом суммы $$ x+\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2}\leq9 $$ $$ x+|\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}|\leq9 $$ Выражение под модулем всегда строго положительно $$ x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\leq9 $$ Делаем замену $t=\sqrt{x+\frac{1}{4}}$ $$ t^2+t+\frac{1}{4}\leq9 $$ Решаем это неравенство и получаем $$ t\in[0;\frac{5}{2}] $$ $$ \sqrt{x+\frac{1}{4}}\in[0;\frac{5}{2}] $$ $$ x\in[-\frac{1}{4};6] $$ С учетом ОДЗ $$ x\in[-\frac{1}{4};6] $$
Ответ: $x\in[-\frac{1}{4};6]$.