Задание
Решите неравенство $$ \frac{\log_{0.2}(\frac{1}{2x-1})+\log_5(2-x)}{\log_5(2x-1)+\log_{0.2}(\frac{1}{3-2x})}\geq0 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} \frac{1}{2x-1}>0 \\ 2-x>0 \\ 2x-1>0 \\ \frac{1}{3-2x}>0 \\ \log_5(2x-1)+\log_{0.2}(\frac{1}{3-2x})\neq0 \\ 2x-1\neq0 \\ 3-2x\neq0 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x\in(\frac{1}{2};1)\cup(1;\frac{3}{2})$
Переписываем неравенство в виде $$ \frac{\log_{5^{-1}}(\frac{1}{2x-1})+\log_5(2-x)}{\log_5(2x-1)+\log_{5^{-1}}(\frac{1}{3-2x})}\geq0 $$ $$ \frac{\log_5(2-x)-\log_{5}(\frac{1}{2x-1})}{\log_5(2x-1)-\log_{5}(\frac{1}{3-2x})}\geq0 $$ Используем метод замены множителей $$ \frac{(2-x-\frac{1}{2x-1})\cdot(5-1)}{(2x-1-\frac{1}{3-2x})\cdot(5-1)}\geq0 $$ Решаем неравенство и получаем ответ $$ x\in(\frac{1}{2};1) $$ С учетом ОДЗ получаем окончательный ответ $$ x\in(\frac{1}{2};1) $$
Ответ: $x\in(\frac{1}{2};1)$.