Задание
Решите неравенство $$ \dfrac{x^3+125}{5+x}>0 $$Решение
ОДЗ: $5+x\neq0\ \Leftrightarrow \ x\neq-5$
Используя формулу суммы кубов, переписываем исходное неравенство в виде $$ \dfrac{(x+5)(x^2-5x+25)}{5+x}>0 $$ Сокращаем $x+5$ в числителе и знаменателе $$ x^2-5x+25>0 $$ Уравнение $x^2-5x+25=0$ имеет отрицательный дискриминант и больше 0 при любых $x$. Следовательно, ответом являются все значения $x\in\text{ОДЗ}$ $$ x\in (-\infty;-5)\cup(-5;+\infty) $$
Ответ: $(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty)$.