Задание
Решите неравенство $$ x^2+4x+\dfrac{4}{x^2+4x+3}<0 $$Решение
ОДЗ: $x^2+4x+3\neq0\ \Leftrightarrow \ x\neq-3,\ x\neq-1$.
Прибавляем и вычитаем $3$ к левой части неравенства и группируем члены неравенства следующим образом $$ (x^2+4x+3)+\dfrac{4}{x^2+4x+3}-3<0 $$ Делаем замену $t=x^2+4x+3$ и получаем $$ t+\dfrac{4}{t}-3<0 $$ Откуда $$ \frac{t^2-3t+4}{t}<0 $$ Дискриминант уравнения $t^2-3t+4=0$ отрицательный, выражение $t^2-3t+4$ больше 0 при любых значениях $t$, следовательно, предыдущее неравенство эквивалентно неравенству $$ \frac{1}{t}<0 $$ Делаем обратную замену $$ \frac{1}{x^2+4x+3}<0 $$ Преобразуем знаменатель в произведение скобочек $$ \frac{1}{(x+3)(x+1)}<0 $$ Методом интервалов с учетом ОДЗ получаем ответ $$ x\in(-3,-1) $$
Ответ: $(-3,-1)$.