Задание
В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90, угол A равен 60. Из вершины прямого угла проведена медиана CM. В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Найдите угол между OM и OB.
Дано
- ABC - прямоугольный треугольник
- $\angle CAB=60^{\circ}$, следовательно $\angle ABC=90-60-30^{\circ}$
- СМ - медиана
- O - центр вписанной в ABC окружности
- угол между OM и OB - ?
Решение
По свойствам медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе $$ CM=AM=BM $$ Следовательно, треугольник CMA равнобедренный, откуда следует, что $$ \angle MCA=\angle CAM=60^{\circ} $$ Треугольник CMA равнобедренный и два его угла равны 60 градусам, следовательно, он равносторонний. Прямая AE проходит через точку O, являющуюся точкой пересечения биссектрис, значит, AE - биссектриса угла A. AE является биссектрисой правильного треугольника CMA, значит, AE также является высотой треугольника CMA, $\angle AEC=90^{\circ}$. Из этого, в свою очередь, следует, что треугольник COM равнобедренный. Прямая CD проходит через точку O, следовательно, она является биссектрисой прямого угла, откуда следует, что $\angle DCA=\frac{90}{2}=45^{\circ}$. Находим угол MCO как разницу двух известных углов $$ \angle MCO=\angle MCA-\angle DCA=15^{\circ} $$ Из равнобедренности треугольника COM следует, что $\angle CMO=\angle MCO=15^{\circ}$. Из правильности треугольника CMA следует, что $\angle CMA=60^{\circ}$. $\angle CMB=180-\angle CMA=120^{\circ}$. $$ \angle OMB=\angle CMO+\angle CMB=135^{\circ} $$ Прямая BO является биссектрисой угла B, следовательно $\angle OBM=\frac{30}{2}=15^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна 180 градусам, следовательно $$ \angle BOM=180-\angle OMB-\angle OBM=180-135-15=30^{\circ} $$
Ответ: 30.