Задание
В равнобедренный треугольник (AB=BC) вписана окружность. Точки касания делят каждую боковую сторону на отрезки длиной 4 и 6, считая от вершины. Определите радиус вписанной окружности.
Дано
- ABC - равнобедренный треугольник (AB=BC)
- O центр вписанной в ABC окружности
- D, E, H - точки касания окружностью сторон треугольника
- BD=BE=4, AD=CD=6
- r - радиус вписанной окружности
- r - ?
Решение
Из точки O опускаем перпендикуляры OD, OE и OH на стороны AB, BC и AC. Замечаем, что отрезки OD, OE и OH являются радиусами вписанной окружности: $OD=OE=OH=r$. Также замечаем, что $\angle HCO=\angle ECO$ (так как прямая CO - биссектриса) и прямоугольные треугольники HCO и ECO равны по двум сторонам и трем углам. Из равенства треугольников HCO и ECO следует, что $$ HC=EC=6 $$ Аналогично, получаем $AH=AD=6$. Следовательно $AC=AH+HC=12$. Полупериметр треугольника ABC равен $$ p=\frac{AB+BC+AC}{2}=16 $$ Согласно свойствам вписанной окружности $$ r=\sqrt{\frac{(p-AB)\cdot(p-BC)\cdot(p-AC)}{p}}=\sqrt{\frac{(16-10)\cdot(16-10)\cdot(16-12)}{16}}=3 $$
Ответ: 3.