Задание
В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны равны 10. Основание AC равно 12. Определите радиус круга, касающегося боковой стороны в точке основания высоты, проведенной к этой боковой стороне, и проходящего через середину AC.
Дано
- ABC - равнобедренный треугольник
- AB=BC=10, AC=12
- CE, AF - высоты
- D - середина AC
- радиус круга, проходящего через точки E, F, D - ?
Решение
1) Находим BF и CF:
Полупериметр ABC равен $$ p=\frac{AB+AC+BC}{2}=16 $$ Откуда $$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=48 $$ Откуда, по свойствам высоты треугольника $$ AF=EC=\frac{2S_{ABC}}{AB}=\frac{48}{5} $$ Из прямоугольного треугольника ABF, по теореме Пифагора $$ BF=EB=\sqrt{AB^2-AF^2}=\frac{14}{5} $$ $$ CF=AE=BC-BF=\frac{36}{5} $$
2) Находим EF:
Опустим перпендикуляры EL и FM на сторону AC. Также, проведем прямую BD, которая будет являться высотой равнобедренного треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника BDC $$ BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-\bigl(\frac{12}{2}\bigr)^2}=8 $$ Из прямоугольного треугольника BDC $$ \cos BCD=\frac{DC}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} $$ Из прямоугольного треугольника FCM $$ \cos BCD=\frac{MC}{FC} $$ Откуда $$ MC=FC\cdot\cos BCD=\frac{36}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{108}{25} $$ Откуда $$ EF=LM=AC-2\cdot MC=\frac{84}{25}=3.36 $$
3) Находим FD и ED:
Из треугольника FDC по теореме косинусов $$ ED=FD=\sqrt{FC^2+DC^2-2\cdot FC\cdot DC\cdot \cos BCD}=6 $$
4) Находим радиус окружности, описывающей треугольник EFD (радиус именно этой окружности нам нужно найти по условию задания):
Полупериметр EFD равен $$ p_2=\frac{EF+FD+LM}{2}=\frac{6+6+3.36}{2}=7.68 $$ По формуле Герона $$ S_{EFD}=\sqrt{p_2(p_2-ED)(p_2-FD)(p_2-EF)}=\sqrt{7.68\cdot1.68\cdot1.68\cdot4.32}=9.6768 $$ По свойствам описанной окружности $$R=\frac{ED\cdot FD\cdot EF}{4S_{EFD}}=3.125$$
Ответ: 3.125.