ЕГЭ по математике задание С4 ЗАДАЧКА 14


Задание

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает сторону AB в точке M и сторону BC в точке N. Отрезок MB=1, BN=$\frac{5}{4}$. Найдите отрезок AM, если угол NAC=$\arcsin \frac{1}{3}$, а угол MCA=$\arcsin \frac{1}{2}$

Решение

1) Находим NC:
Обращаем внимание на то, что и треугольник ACM, и треугольник ACN описывает одна и та же окружность. Делаем из этого вывод, что радиус описанной окружности $R$ вокруг треугольников ACP и ACK одинаковый. Из треугольников ANC и MAC по теореме синусов $$ \frac{AM}{\sin MCA}=2R=\frac{NC}{\sin NAC} $$ Откуда $$ NC=\frac{\sin (\arcsin \frac{1}{3})}{\sin (\arcsin \frac{1}{2})}\cdot AM=\frac{2}{3}\cdot AM $$
2) Находим AM:
По теореме о секущих $$ BM\cdot(BM+AM)=BN\cdot(BN+NC) $$ $$ 1\cdot(1+AM)=\frac{5}{4}\cdot\bigl(\frac{5}{4}+\frac{2}{3}\cdot AM\bigr) $$ Решаем уравнение и получаем $$ AM=\frac{27}{8} $$
Ответ: $\frac{27}{8}$.

Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru