Задание
В треугольник ABC вписана окружность. Точки касания делят сторону CB на отрезки 3 и 5, считая от вершины C. Угол A равен $\arcsin\frac{4}{5}$. Определите площадь треугольника ABC.
Дано
- ABC - треугольник
- O - центр вписанной в ABC окружности
- OL, OM, OK - перпендикуляры из точки O на стороны AC, AB и BC
- $r=OL=OM=OK$ - радиус вписанной в ABC окружности
- CO, AO, BO - биссектрисы
- CK=3, KB=5
- $\angle CAB=\arcsin\frac{4}{5}$
- $S_{ABC}$ - ?
Решение
1) Находим $\cos CAB$:
Из равенства $\angle CAB=\arcsin\frac{4}{5}$ следует, что угол CAB остроугольный. Кроме того, из равенства $\angle CAB=\arcsin\frac{4}{5}$ следует, что $$ \sin CAB=\frac{4}{5} $$ Откуда $$ \cos CAB=\pm\sqrt{1-\sin^2CAB}=\pm\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\pm\frac{3}{5} $$ Вариант $\cos CAB=-\frac{3}{5}$ отбрасывается, потому что в случае, если бы это равенство было верным, угол CAB был бы тупым. Приходим к заключению, что $\cos CAB=\frac{3}{5}$.
2) Находим AB и AC:
Прямоугольные треугольники COK и COL имеют общую гипотенузу CO и одинаковые катеты OL и OK, следовательно, эти треугольники являются равными. Аналогично, равными оказываются треугольники BOK и BOM. Из равенства этих четырех треугольников следует, что $$ CL=CK=3,\ BM=BK=5 $$ Точно так же доказывается равенство прямоугольных треугольников AOL и AOM. Обозначим длину стороны AL как $x$ $$ AL=AM=x $$ По теореме косинусов из треугольника ABC $$ BC^2=(CL+x)^2+(MB+x)^2-2\cdot(CL+x)\cdot (MB+x)\cdot \cos A $$ $$ 8^2=(5+x)^2+(3+x)^2-2(5+x)(3+x)\frac{3}{5} $$ Решаем квадратное уравнение и получаем $$ x=2\sqrt{19}-4 $$
3) Находим площадь ABC:
По свойствам треугольника $$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot(x+3)\cdot(x+5)\cdot\frac{4}{5} $$ Подставляем в уравнение $x$ и получаем $$ S_{ABC}=30 $$
Ответ: $ 30 $