ЕГЭ по математике задание С4 ЗАДАЧКА 19

Задание

На стороне $АС$ угла $ACB$, равного $45$ градусам, взята точка $D$ так, что $CD=AD=2$. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки $A$ и $D$ и касается прямой $ВС$.

Дано

  • $\angle ACB=45^{\circ}$
  • $CD=AD=2$
  • радиус $R$ окружности, которая проходит через точки $A$ и $D$ и касается прямой $ВС$ - ?

Решение (случай 1)

Решим задачу для случая, когда центр окружности $O_1$ лежит между точками $K$ и $N$.
Пусть $K$ - середина отрезка $AD$, $DK=KA=1$. Проведем через точку $K$ прямую $KN$, перпендикулярную прямой $CA$, $\angle NKA=90^{\circ}$. Центр $O_1$ окружности, проходящей через точки $D$ и $A$, лежит где-то на прямой $KN$. Обозначим точку касания окружностью прямой $CN$ точкой $M_1$. Проведем прямые $O_1D$, O_1A, O_1M_1, которые будут равны между собой и будут равны радиусу окружности. Так как окружность касается прямой $CN$ только в одной точке, $\angle O_1M_1N=90^{\circ}$. В треугольнике $CKN$ $\angle KCN=45^{\circ}$, $\angle CKN=90^{\circ}$, следовательно $$ \angle KNC=45^{\circ} $$ Треугольник $CNK$ равнобедренный, в нем $CK=3\ \Rightarrow\ KN=3$, $\angle CKN=90^{\circ}$. По свойствам равнобедренного треугольника $$ CN=2\cdot CK\cdot\sin\frac{\angle CKN}{2}=3\sqrt{2} $$ Прямая $CM_1$ является касательной, прямая $CA$ является секущей к нашей окружности. По теореме о касательной и секущей $CM_1^2=CD\cdot CA$, откуда $$ CM_1=2\sqrt{2} $$ В прямоугольном треугольнике $M_1NO_1$ $\angle M_1O_1N=90-\angle KNC=45^{\circ}$. Следовательно, треугольник $M_1NO_1$ равнобедренный, а значит $$ O_1M_1=M_1N $$ Радиус окружности $R$ равен прямой $O_1M_1$. Как мы только что выяснили $O_1M_1=M_1N$. Следовательно $$ R=M_1N=CN-CM_1=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2} $$

Решение (случай 2)

Решим задачу для случая, когда центр окружности $O_2$ лежит левее точки $K$.
Пусть окружность касается прямой $CN$ в точке $M_2$, $\angle O_2M_2C=90^{\circ}$. Угол $M_2O_2N$ равен $45$ градусам, следовательно, треугольник $M_2O_2N$ равнобедренный. Искомым радиусом $R$ является отрезок $R=O_2M_2=M_2N$. По теореме о касательной и секущей $CM_2=CD\cdot CA$, откуда $$ M_2C=2\sqrt{2} $$ $$ R=M_2N=CM_2+CN=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2} $$
Ответ: $\sqrt{2},\ 5\sqrt{2}$.

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru