Задание
Прямоугольный треугольник ABC (угол С равен 90) вписан в окружность. Касательная, проведенная к окружности в точке С, пересекает прямую АВ в точке D, CD=10. Из вершины прямого угла проведена высота CH, которая равна 6. Определите отрезок HB.Дано
- ABC - вписанный в окружность прямоугольный треугольник
- точка O - центр окружности, делит сторону AB пополам (потому что треугольник ABC прямоугольный)
- CD - касательная к окружности
- CH - высота
- CD=10, CH=6
- длина отрезка HB - ?
Решение (случай 1)
Решим эту задачу для случая, когда длина AC будет больше длины CB.
CH является высотой, значит, треугольник HDC прямоугольный. По теореме Пифагора $$ HD=\sqrt{CD^2-HC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8 $$ Прямая CO является радиусом окружности, прямая CD является касательной к этому радиусу, значит, $\angle OCD=90^{\circ}$. Согласно теореме о высоте прямоугольного треугольника $$ CD^2=HD\cdot OD $$ Откуда $$ OD=\frac{CD^2}{HD}=\frac{10^2}{8}=12.5 $$ Так как $OD=HD+OH$ $$ OH=OD-HD=12.5-8=4.5 $$
2) Находим CO, OB и HB:
Как мы выяснили ранее, треугольник OCD прямоугольный. По теореме Пифагора $$ CO=\sqrt{OD^2-CD^2}=\sqrt{12.5^2-10^2}=7.5 $$ CO является радиусом описанной вокруг ABC окружности. OB также является радиусом описанной вокруг ABC окружности, поэтому $$ OB=CO=7.5 $$ Так как $OB=OH+HB$ $$ HB=7.5-4.5=3 $$
Ответ: 3.
Решение (случай 2)
В случае, когда длина AC будет меньше длины CB, рисунок и ответ будут другими, но при этом решение будет практически аналогичным предыдущему.